Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций  (9-й класс)

Тема урока: Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Цели урока:

1.Обобщить решение задач с помощью систем уравнений различными методами.

2.Воспитывать интерес к предмету через межпредметные связи с химией и литературой, обращая внимание на аккуратность, дисциплинированность и самостоятельность.

3.Развивать устную и письменную речь, внимание и логическое мышление.

Оборудование:  - компьютер и проектор;

                            - тексты задач для решения в классе;

                            -  тексты задач для решения дома;

 Подготовка к уроку: повторение способов решения задач с помощью систем уравнений различными методами.

Комментарий к уроку: использование презентации Microsoft Power Point.

Эпиграф к уроку: Учитель должен много знать, и не только свой предмет, он должен быть компетентным в разных областях. …

План урока:

1. Оргмомент (сообщение о необходимости решения задач с помощью систем уравнений, связь темы урока с КИМами ГИА по математике).
2. Актуализация опорных знаний (повторение методов решения систем уравнений).
3. Закрепление материала (решение задач путем математического моделирования).
4. Итоги урока. Домашнее задание.

Презентация

Слайд 1: Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций.

Слайд 2: «Все науки настолько связаны между собою, что легче изучать их все сразу, нежели какую-либо одну из них в отдельности от всех прочих».                                   Рене Декарт

Слайд 3: Методы решения систем уравнений:

                - подстановки;

                - алгебраического сложения;

                - введения новых переменных;

                - графический.

Слайд 4: Алгоритм решения задачи с помощью системы уравнений:

1.Обозначить неизвестные элементы переменными;

2.Составить по условию задачи систему уравнений;

3.Определить метод решения системы уравнений;

4.Выбрать ответ, удовлетворяющий
условию задачи.

Слайд 5: Этапы решения задачи:

•         Первый этап. Составление математической модели.

•         Второй этап. Работа с составленной моделью.

•         Третий этап. Ответ на вопрос задачи.  

Слайд 6: Л. Н. Толстой «Арифметика»

 У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько у каждого овец?        

Iэтап. Обозначим х - число овец у первого мужика, у – у второго.

IIэтап.(решаем методом алгебраического сложения).

IIIэтап. Ответ: 13 и 22.

Слайд 7: Илья Ильф и Евгений Петров «Двенадцать стульев»

Слайд 8: Задача: Потом отец Федор подошел к комоду и вынул из конфетной коробки 50 рублей трехрублевками и пятирублевками. В коробке оставалось еще 20 рублей.

Сколько трех- и пятирублевок отец Федор взял и сколько оставил?

Ну, а чтобы обеспечить единственность  решения, добавим условие: отец Федор взял с собой большую часть трехрублевок и большую часть пятирублевок. Теперь найдите решение.

Слайд 9: Решение:

а) Пусть взято x трехрублевок и y пятирублевок

   3x+5y=50         находим пары:  5 и 7, 10 и 4, 15 и 1

б) а – осталось трехрублевок

    b – осталось пятирублевок

   3а+5b=20          находим пары:  5 и 1, 0 и 4

Значит, отец Федор взял 5 трехрублевок и 7 пятирублевок или 10 трехрублевок и 4 пятирублевок.

Слайд 10:       Задачи от Н.Носова из книги «Витя Малеев школе и дома»

Слайд 11: Задача №1: Мальчик и девочка рвали в лесу орехи. Они сорвали всего 120 штук. Девочка сорвала в два раза меньше мальчика. Сколько орехов собрал каждый из них?

Решение:

Iэтап. Пусть мальчик сорвал х ор., а девочка у ор.

IIэтап. (решаем методом подстановки).

IIIэтап. Ответ: мальчик сорвал 80 ор., а девочка сорвала 40 ор.

Слайд 12:

Задача №2: В магазине было 8 пил, а  топоров  в  три раза больше.  Одной  бригаде плотников продали половину топоров и три пилы за 84 рубля. Оставшиеся топоры и пилы продали другой бригаде плотников за 100 рублей. Сколько  стоит  один топор и одна пила?

Решение:

Iэтап. Пусть  топор стоит х руб., а пила стоит у руб.

IIэтап. (решаем методом алгебраического сложения).

IIIэтап. Ответ:  топор стоит 5 руб. и пила стоит 8 руб.

Слайд 13: Задача из рассказа А.П.Чехова «Репетитор»

Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого сукна, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное - 3 руб?

 Слайд 14: Решение:

Iэтап. Пусть черного сукна приобрел купец – х м и синего сукна – у м. Так как синее сукно стоит 5 руб. за 1м, а черное – 3 руб. за 1м, то составим и решим систему уравнений:

IIэтап.   (метод подстановки)

               x = 138 – y

            5(138 – y) + 3y = 540

   5(138 – y) + 3y = 540

   690 – 5y +3y = 540

     -2y = -150

      y = 75                     x = 138 – 75 = 63.

IIIэтап. Ответ: 63 (аршина) – синего и 75 (аршин) – черного сукна приобрел купец.

 Слайд 15: Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

 Iэтап: Пусть первого сплава взяли х г и второго – у г.

  М                        С                         М         С

                    +                          =

         х(г)                    у(г)                         200(г)                       

    х + у = 200

    0,15х  + 0,65у  =0,3 *200       х = 140  и у = 60                            Ответ: 140г меди и 60г свинца                 

 Слайд 16: Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы получить при смешивании с «богатой» 20 т руды с содержанием меди 8%?

Переведем проценты в дроби: 6%=0,06;  11%=0,11; 8%=0,08

Iэтап: Пусть надо взять х т «бедной» руды, которая будет содержать 0,06х т меди, а «богатой» руды надо взять у т, которая будет содержать 0,11у т меди. Составим первое уравнение: х + у = 20.

Так как получившиеся 20 т руды будут содержать 20*0,08=1,6 т меди, то получим уравнение:

0,06х + 0,11у = 1,6.

IIэтап: (метод подстановки)

Решив систему уравнений, получим х = 12.                                  

IIIэтап: Ответ:  12 т руды с 6% содержанием меди

Слайд 17: Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2: 3, а в другом в отношении 3: 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5: 11?

Iэтап: По этой схеме уравнение х + у =1 показывает массу нового сплава.

            Определяем массу золота в каждом сплаве  и получаем уравнение

   *х  +     * у =    * 1       

Аналогично массу серебра и получаем уравнение

  * х +       * у =      * 1

                                     IIэтап:   Записываем одну из систем:

       х + у = 1

       х +      у =      

        х + у = 1

       х +        у = 

Решая ее, получаем х = 0,125 и у = 0,875                                 

IIIэтап: Ответ: 125 г золота  и 875 г серебра.

 Слайд 18: Задания из тестов ГИА:

1.Найти  пары  чисел,  являющиеся  решением  системы уравнений   

1) (1; 6); (6; 1)               2)  (6; 1); (−0, 5; −12)

3) (1; 6); (−12;−0, 5)      4)   (6; 1); (−1; −6)

 Слайд 19: 2. Прямая y=2x-3 пересекает параболу  y=x2-x-7 в двух точках.

 Вычислите координаты точки B.

 Слайд 20: 3. Вычислите координаты точки B.

Слайд 21: Домашнее задание: задачник под ред. Мордковича А.Г. №7.37, 7.40 и 7.53)

                     Спасибо всем за урок!

                     Удачи!И помните!

Учение без размышления бесполезно,

но и размышление без учения опасно.
                                                Конфуций.